En cours nous abordons le modèle de Solow avec une fonction de production Cobb-Douglas. Pour bien comprendre l'importance des différentes propriétés des fonctions de production néoclassiques, il est utile de voir comment les prédictions du modèle changent avec une autre fonction de production. Je présente rapidement ici la fonction de production CES.
La fonction de production CES (pour Constant Elasticity of Substitution) est définie par :
\[ F(K, L) = \left(a K^{\gamma}+(1-a)L^{\gamma}\right)^{\frac{1}{\gamma}} \]
avec \(0<\gamma<1\) et \(\gamma<1\). On peut montrer, voir plus bas, que le paramètre \(\gamma\)
détermine l'élasticité de substitution entre les facteurs~: \[ \sigma =
\frac{1}{1-\gamma} \] qui est constante (d'où le nom de la fonction de
production). Cette élasticité peut donc prendre, selon la valeur du paramètre
\(\gamma\), des valeurs entre \(0\) (les facteurs sont parfaitement complémentaires)
et \(\infty\) (les facteurs sont parfaitement substituables).
La fonction \(F\) est homogène de degré un.
La fonction de production CES, définie plus haut, est donc à rendements d'échelle constants. Il est donc possible de définir la fonction de production intensive en exprimant la production par tête comme une fonction du stock de capital par tête : \[ f(k) = \left(a k^{\gamma}+1-a\right)^{\frac{1}{\gamma}} \]
Les productivités marginales sont positives.
Pour la productivité marginale du capital, nous avons :
\begin{equation*} \begin{split} F_K(K,L) &= \frac{1}{\gamma} a \gamma K^{\gamma-1}\left(a K^{\gamma}+(1-a)L^{\gamma}\right)^{\frac{1}{\gamma}-1}\\ &= a K^{\gamma-1}\left(a K^{\gamma}+(1-a)L^{\gamma}\right)^{\frac{1}{\gamma}-1}\\ &= a K^{-\frac{1-\gamma}{\gamma}\gamma}\left(a K^{\gamma}+(1-a)L^{\gamma}\right)^{\frac{1-\gamma}{\gamma}}\\ &= a \left(a +(1-a)k^{-\gamma}\right)^{\frac{1-\gamma}{\gamma}}\geq 0 \end{split} \end{equation*}La productivité marginale du capital dépend du stock de capital par tête, la productivité marginale du capital est homogène de degré zéro puisque la fonction de production est homogène de degré un. De la même façon, pour la productivité marginale du travail, on montre que :
\[ F_L(K,L) = (1-a)\left(ak^{\gamma}+1-a\right)^{\frac{1-\gamma}{\gamma}}\geq 0 \]
Les productivités marginales sont décroissantes.
La productivité du capital est une fonction décroissante du stock de capital par tête, \(k\) :
\[ \frac{\mathrm d F_K}{\mathrm d k} = -a(1-a)(1-\gamma)k^{-\gamma-1}\left(ak^{\gamma}+1-a\right)^{\frac{1-\gamma}{\gamma}-1}<0 \]
pour toute valeur admissible de \(\gamma<1\). De la même façon on montre que la productivité marginale du travail est toujours une fonction croissante du stock de capital par tête. Par ailleurs, le stock de capital par tête est une fonction croissante de \(K\) et décroissante de \(L\). Au total, la productivité marginale du capital (respectivement du travail) est une fonction décroissante du capital (respectivement du travail).
L'élasticité de substitution entre les facteurs est constante.
On peut définir l'isoquant de niveau \(\bar Y\) comme l'ensemble des couples \((L,K)\) tels que \(F(K,L)=\bar Y\). Le long d'un isoquant, nous devons donc avoir :
\[ F_K(K,L)\mathrm dK + F_L(K,L)\mathrm d L = 0 \]
\[ \Leftrightarrow \frac{\mathrm dK}{\mathrm d L} =- \frac{F_L(K,L)}{F_K(K,L)} \]
la pente de l'isoquant de niveau \(\bar Y\) en un point \((K,L)\), A.K.A. le TMST (au signe près). Dans le cas de la fonction CES, on a :
\[ \textrm{TMST}(K,L) = \frac{(1-a)\left(ak^{\gamma}+1-a\right)^{\frac{1-\gamma}{\gamma}}}{a \left(a +(1-a)k^{-\gamma}\right)^{\frac{1-\gamma}{\gamma}}} \]
\[ \Leftrightarrow \textrm{TMST}(K,L) = \frac{(1-a)}{a} k^{1-\gamma} \]
\[ \Rightarrow \log \textrm{TMST}(K,L) = \log\frac{(1-a)}{a} +(1-\gamma) \log k \]
\[ \Rightarrow \frac{\mathrm d \textrm{TMST}}{\textrm{TMST}} = (1-\gamma)\frac{\mathrm d k}{k} \]
\[ \Leftrightarrow \underbrace{\frac{\frac{\mathrm d k}{k}}{\frac{\mathrm d \textrm{TMST}}{\textrm{TMST}}}}_{\sigma} = \frac{1}{1-\gamma} \]
L'élasticité de substitution entre les facteurs \(K\) et \(L\), que nous noterons \(\sigma\), caractérise la courbure de l'isoquant en reliant le taux de variation du ratio des facteurs, \(k=\frac{K}{L}\), au taux de variation de la pente de l'isoquant.
L'élasticité de la production par rapport au capital n'est pas constante.
L'élasticité de la production par rapport au stock de capital est définie par :
\[ \epsilon_{Y/K} = \frac{F_K(K,L)}{\frac{F(K,L)}{K}} \]
le rapport de la productivité marginale et de la productivité moyenne. Nous avons exprimé plus haut la productivité marginale en fonction de \(k\), nous pouvons faire de même pour la productivité moyenne :
\begin{equation*} \begin{split} \frac{F(K,L)}{K} &= K^{-\frac{\gamma}{\gamma}}\left(a K^{\gamma}+(1-a)L^{\gamma}\right)^{\frac{1}{\gamma}}\\ &= \left(a + (1-a)\left(\frac{L}{K}\right)^{\gamma}\right)^{\frac{1}{\gamma}}\\ &= \left(a + (1-a)k^{-\gamma}\right)^{\frac{1}{\gamma}}\\ \end{split} \end{equation*}Ainsi :
\[ \epsilon_{Y/K}(k) = \frac{a \left(a +(1-a)k^{-\gamma}\right)^{\frac{1-\gamma}{\gamma}}}{\left(a + (1-a)k^{-\gamma}\right)^{\frac{1}{\gamma}}} \]
\[ \Leftrightarrow \epsilon_{Y/K}(k) = \frac{a}{a + (1-a)k^{-\gamma}} \]
L'élasticité de la production par rapport au capital est une fonction monotone croissante de \(k\) si \(0<\gamma<1\), monotone décroissante si \(\gamma<0\). De plus on a :
\begin{equation*} \lim_{k\rightarrow\infty}\epsilon_{Y/K}(k) = \begin{cases} 1, &\text{ si } 0<\gamma<1\\ 0 &\text{ si } \gamma<0 \end{cases} \end{equation*}Quand \(\gamma>0\), c'est-à-dire \(\sigma>1\), la fonction de production devient asymptotiquement linéaire. Ce qui explique pourquoi, une fois plongée dans le modèle de Solow, cette fonction de production génère éventuellement de la croissance endogène1.
La fonction de production CES peut être interprétée comme une généralisation de la fonction de production Cobb-Douglas. Il suffit de noter que lorsque \(\gamma\) se rapproche de zéro, \(\sigma\) tend vers un, le \(\mathrm{TMST}\) de la CES converge vers le \(\mathrm{TMST}\) de la Cobb-Douglas pour tout \(k>0\).
Notes de bas de page:
le modèle génère éventuellement de la croissance endogène quand les facteurs sont plus substituables que dans le cas Cobb-Douglas (nous avons montré, en cours, que dans ce cas l'élasticité de substitution est \(\sigma=1\))