Le modèle de Solow en temps discret

En temps continu, l'accumulation du capital par tête obéit à l'équation différentielle établie ici :

\[ \dot k(t) = sf\bigl(k(t)\bigr) - (n+\delta)k(t) \]

En temps discret, le stock de capital installé au début de la période \(t+1\) est ce qui subsiste du stock précédent, augmenté de l'investissement de la période :

\[ K_{t+1} = (1-\delta)K_t + I_t \]

Avec une population active croissant au taux \(n\), \(H_{t+1} = (1+n)H_t\), un taux d'épargne constant, \(I_t = sY_t\), et une technologie \(Y_t = A_tF(K_t,H_t)\) homogène de degré un, on obtient en divisant par \(H_{t+1}\) la loi d'évolution du capital par tête :

\[ (1+n)\,k_{t+1} = (1-\delta)k_t + sA_tf(k_t) \]

Trois remarques avant d'aller plus loin.

D'abord, le capital est prédéterminé. Le stock \(k_t\) résulte de décisions prises en \(t-1\) ; il ne réagit pas à ce qui se passe en \(t\). Cette convention de datation est sans conséquence dans le modèle déterministe, mais elle devient décisive dès qu'on introduit un aléa, et c'est une source d'erreur classique dans les simulations.

Ensuite, la loi d'évolution est explicite : le membre de droite ne dépend que de \(k_t\). Simuler le modèle non linéaire ne demande donc aucun solveur, une simple boucle suffit. Nous verrons à la section Du temps discret au temps continu que ce confort tient à la façon dont on a discrétisé, et non au modèle lui-même.

Enfin, pourquoi le temps discret. Les données sont datées trimestriellement ou annuellement, les simulations procèdent par pas, et les modèles d'équilibre général dynamiques sont généralement écrits en temps discret. Le modèle de Solow est le plus simple sur lequel on puisse voir à l'œuvre les difficultés propres à ce cadre.

Dans toute la note nous adoptons l'étalonnage suivant, celui de McCandless : \(\alpha = 0{,}36\), \(s = 0{,}20\), \(n = 0{,}02\) et \(\delta = 0{,}10\), la période étant l'année. Le progrès technique est nul sauf mention contraire.

L'état stationnaire \(\bar k\) vérifie \(\bar k = g(\bar k)\), soit :

\[ (1+n)\bar k = (1-\delta)\bar k + sAf(\bar k) \]

L'existence et l'unicité d'un état stationnaire non trivial reposent sur les mêmes arguments qu'en temps continu, la productivité moyenne \(f(k)/k\) étant monotone décroissante de l'infini vers zéro sous les conditions d'Inada. Nous renvoyons à la note sur le modèle de Solow pour la démonstration, qui ne dépend pas de la convention de datation.

La stabilité, en revanche, s'énonce différemment. En temps continu elle tient au signe de la dérivée ; en temps discret, au module de la pente de \(g\) au point fixe (qui doit être inférieur à 1 en module pour assurer la convergence locale).

C'est un point qu'il vaut la peine de souligner, car on attend souvent du temps discret qu'il engendre des oscillations : le modèle de Solow en temps discret n'oscille jamais pour des valeurs admissibles de la dépréciation. La section Du temps discret au temps continu dira pourquoi, et à quelle condition il le pourrait.

Pour notre étalonnage, \(\bar k = 2{,}2215\) et \(g'(\bar k) = 0{,}9247\).

Approchons la loi d'évolution au voisinage de l'état stationnaire. En notant \(\tilde k_t = \log(k_t/\bar k)\) l'écart logarithmique, on obtient au premier ordre :

\[ \tilde k_{t+1} = B\,\tilde k_t, \qquad B = g'(\bar k) \]

Le capital suit donc un processus autorégressif d'ordre un, dont le coefficient est la pente calculée à la section précédente. On peut aussi lire cette dynamique comme une suite géométrique de raison \(B\). Cette écriture appelle une comparaison avec le temps continu, où la vitesse de convergence est \(\beta^{\star} = (1-\alpha)(n+\delta)\), comme établi ici.

Le passage au temps discret divise la vitesse de convergence par le facteur démographique. Pour notre étalonnage, \(B = 0{,}9247\) et la demi-vie de l'écart à l'état stationnaire vaut \(\log 2/(-\log B) = 8{,}85\) années.

Cette identité vaut sous l'hypothèse d'absence de progrès technique. La section Du temps discret au temps continu montre ce qu'elle devient sans cette hypothèse.

Supposons maintenant que la technologie croisse à taux constant, \(A_t = (1+a)^tA_0\). Le capital par tête n'admet plus d'état stationnaire : il croît indéfiniment le long d'un sentier de croissance équilibrée, où le taux de croissance est constant.

L'exposant \(\frac{1}{1-\alpha}\) mérite un mot, car il n'apparaît pas dans nos notes en temps continu. Il tient à la façon dont la technologie a été introduite. Ici elle est neutre au sens de Hicks, elle multiplie la fonction de production ; dans la note sur la simulation du modèle de Solow elle augmente le travail, \(F(K_t,A_tH_t)\). Dans le cas Cobb-Douglas les deux conventions se réconcilient :

\[ A_tK_t^{\alpha}H_t^{1-\alpha} = K_t^{\alpha}\left(A_t^{\frac{1}{1-\alpha}}H_t\right)^{1-\alpha} \]

de sorte qu'un progrès technique neutre au taux \(a\) équivaut à un progrès augmentant le travail au taux \(x\) défini par \(1+x = (1+a)^{\frac{1}{1-\alpha}}\). Avec \(a = 0{,}02\) et \(\alpha = 0{,}36\), cela donne \(x = 3{,}14\,\%\). Confondre les deux conventions conduit à surestimer ou sous-estimer la croissance dans un rapport \(1/(1-\alpha)\), soit plus de moitié pour un étalonnage usuel.

Pour raisonner sur un état stationnaire il faut passer aux unités d'efficience, \(\hat k_t = K_t/(A_tH_t)\), ce qui donne :

\[ (1+n)(1+x)\,\hat k_{t+1} = (1-\delta)\hat k_t + sf(\hat k_t) \]

Prenons du recul et expliquons en quel sens le modèle en temps discret et le modèle en temps continu se répondent, où ils se séparent, et pourquoi il serait imprudent de tenir l'un pour la version approchée de l'autre.

Le modèle compte quatre paramètres, \(\alpha\), \(s\), \(n\) et \(\delta\), auxquels s'ajoutent \(x\) et la variance du choc dans la version stochastique. Les fixer demande de distinguer deux catégories.

Ce qui ne dépend pas de la période. Le taux d'épargne \(s\) et la part du capital \(\alpha\) sont des ratios, sans dimension. Ils sont les mêmes à l'année et au trimestre. La part du capital se lit dans les comptes nationaux, autour de \(0{,}30\) à \(0{,}36\) selon le traitement des revenus mixtes ; le taux d'épargne se lit dans le taux d'investissement, autour de \(0{,}20\) à \(0{,}22\).

Ce qui en dépend. Les taux \(n\), \(x\) et \(\delta\) s'expriment par période. Le passage de l'année au trimestre se fait par \((1+r)^{1/4}-1\), et non par \(r/4\) : pour \(\delta = 0{,}10\), on obtient \(0{,}0241\) contre \(0{,}0250\), soit une approximation qui dévie de près de \(4\,\%\). L'écart est négligeable pour \(n\) et \(x\), où les taux sont petits, et ne l'est pas pour \(\delta\).

Reste le point le plus important, et le plus souvent passé sous silence.

Cette identité lie cinq grandeurs, dont quatre sont observables. On ne peut donc pas les choisir librement. Avec l'étalonnage de McCandless, \(s = 0{,}20\), \(n = 0{,}02\) et \(\delta = 0{,}10\), elle impose \(K/Y = 1{,}42\), alors que les données suggèrent une valeur comprise entre \(2{,}5\) et \(3\). Inversement, viser \(K/Y = 3\) avec \(s = 0{,}20\) et \(n+x = 0{,}04\) impose \(\delta = 0{,}027\), bien loin des dix pour cent usuels.

Il n'y a pas là d'erreur, mais un arbitrage. Calibrer, c'est choisir quels moments on accepte de rater. Un étalonnage retenant \(\delta = 0{,}10\) vise la dynamique de court terme, où la dépréciation gouverne la vitesse d'ajustement ; un étalonnage retenant \(K/Y = 3\) vise les grandeurs de long terme. Le modèle de Solow n'a pas assez de degrés de liberté pour les atteindre simultanément, et c'est une information sur le modèle, pas sur la méthode.

Rendons la technologie aléatoire. Parmi les formulations possibles, la plus commode retient un niveau de technologie log-normal,

\[ A_t = \bar Ae^{\varepsilon_t} \]

où \(\varepsilon_t\) est un bruit blanc gaussien centré d'écart-type \(\sigma_{\varepsilon}\). Cette écriture garantit la positivité de \(A_t\), ce que ne ferait pas un choc additif. La loi d'évolution devient

\[ k_{t+1} = \frac{(1-\delta)k_t + s\bar Ae^{\varepsilon_t}f(k_t)}{1+n} \]

Elle reste explicite : simuler le modèle non linéaire ne demande rien de plus qu'une boucle. C'est le confort du schéma explicite, et c'est aussi ce qui distingue le modèle de Solow des modèles à anticipations, où la trajectoire doit être résolue globalement.

def simule_exact(T, sigma, graine=0):
    """Simulation du modèle non linéaire. Le capital est prédéterminé :
    le choc de la période t n'affecte le capital qu'en t+1."""
    alea = np.random.default_rng(graine)
    eps = sigma*alea.standard_normal(T)
    k = np.empty(T)
    k[0] = kstar()
    for t in range(T-1):
        k[t+1] = ((1-delta)*k[t] + s*A*np.exp(eps[t])*f(k[t]))/(1+n)
    y = A*np.exp(eps)*f(k)
    return k, y, eps

La datation est le seul point délicat. Le capital \(k_t\) est décidé en \(t-1\) : il ne dépend pas de \(\varepsilon_t\). La production \(y_t\), elle, subit le choc contemporain. Inverser ces deux lignes conduit à surestimer la variance de la production de près de dix pour cent, sans que rien ne le signale.

Le modèle étant non linéaire, la variance du capital ne s'exprime pas simplement en fonction de celle du choc. On approche donc le modèle au voisinage de l'état stationnaire. En notant \(\tilde X_t = \log X_t - \log\bar X\), et en utilisant \(e^{\tilde X}\simeq 1+\tilde X\) ainsi que \(\tilde X\tilde Y\simeq 0\), la loi d'évolution devient

\[ \tilde k_{t+1} = B\tilde k_t + C\varepsilon_t, \qquad B = \frac{(1-\delta)+\alpha(n+\delta)}{1+n}, \qquad C = \frac{n+\delta}{1+n} \]

Deux remarques. D'abord, le taux d'épargne n'apparaît ni dans \(B\) ni dans \(C\) : il s'élimine par la condition d'état stationnaire. Un pays qui épargne davantage est plus riche, mais ne converge ni plus vite ni plus lentement, et ne réagit pas différemment aux chocs. Ensuite, \(\tilde k\) est un processus autorégressif d'ordre un ; sa représentation moyenne mobile s'obtient donc par la méthode exposée dans la note sur la représentation MA d'un AR(2), dont c'est le cas particulier à une seule racine :

\[ \tilde k_{t+1} = C\sum_{i=0}^{\infty}B^i\varepsilon_{t-i} \]

Les chocs étant indépendants, la variance s'en déduit immédiatement :

\[ \mathrm{var}\bigl(\tilde k\bigr) = \frac{C^2}{1-B^2}\,\mathrm{var}(\varepsilon) \]

La production, elle, subit le choc contemporain et hérite du capital prédéterminé, \(\tilde y_t = \varepsilon_t+\alpha\tilde k_t\), d'où

\[ \mathrm{var}\bigl(\tilde y\bigr) = \mathrm{var}(\varepsilon)+\alpha^2\,\mathrm{var}\bigl(\tilde k\bigr) \]

Pour notre étalonnage, \(\mathrm{var}(\tilde k) = 0{,}0955\,\mathrm{var} (\varepsilon)\) et \(\mathrm{var}(\tilde y) = 1{,}0124\,\mathrm{var} (\varepsilon)\).

def simule_loglineaire(T, sigma, graine=0):
    """Simulation de la version log-linéaire, avec les mêmes chocs."""
    alea = np.random.default_rng(graine)
    eps = sigma*alea.standard_normal(T)
    B = ((1-delta) + alpha*(n+delta))/(1+n)
    C = (n+delta)/(1+n)
    kt = np.zeros(T)
    for t in range(T-1):
        kt[t+1] = B*kt[t] + C*eps[t]
    yt = eps + alpha*kt
    return kt, yt, eps

Reste à savoir ce que vaut l'approximation. La figure ci-dessous compare, à gauche, les deux trajectoires sur un même tirage de chocs et, à droite, l'écart moyen entre elles en fonction de l'ampleur du choc.

L'erreur relative croît proportionnellement à \(\sigma_{\varepsilon}\), et l'erreur absolue comme son carré. Rapportée à l'écart-type de \(\tilde k\), elle vaut \(4{,}6\,\%\) pour \(\sigma_{\varepsilon} = 0{,}02\), \(23\,\%\) pour \(\sigma_{\varepsilon} = 0{,}10\) et \(46\,\%\) pour \(\sigma_{\varepsilon} = 0{,}20\). C'est une information à garder en tête : pour un choc technologique d'ampleur réaliste la log-linéarisation est excellente, mais elle se dégrade vite. Les figures de McCandless retiennent \(\sigma_{\varepsilon} = 0{,}20\), ce qui les rend lisibles au prix d'une approximation poussée bien au-delà de son domaine de validité.

Le calcul précédent contient un aveu. La variance de la production vaut \(1{,}0124\) fois celle du choc : le modèle ne fabrique presque aucune propagation. Toute la dynamique observée de la production est celle du choc lui-même, et le capital n'y ajoute que \(1{,}24\,\%\). Avec des chocs indépendants, la production est pratiquement un bruit blanc, ce que les données démentent nettement.

Une réponse consiste à rendre les chocs persistants, mais elle déplace la question sans y répondre : la persistance devient une hypothèse au lieu d'un résultat. Voyons plutôt ce qu'apporte un mécanisme interne.

Le fil de cette note suit le premier chapitre de McCandless, G. (2008), The ABCs of RBCs: An Introduction to Dynamic Macroeconomic Models, Harvard University Press, où le modèle de Solow en temps discret sert d'introduction aux modèles de cycles réels. Les sections sur la discrétisation, le calibrage et la rigidité sur l'investissement en sont des prolongements.

Sur le modèle de Solow en temps continu, on se reportera aux notes sur le modèle de Solow et sur sa simulation. Sur les représentations moyenne mobile utilisées aux deux dernières sections, voir la note sur la représentation MA d'un AR(2). La référence classique sur la théorie de la croissance reste Barro, R. et Sala-i-Martin, X. (2004), Economic Growth, MIT Press.