Des vitesses de convergence propres à chaque pays

On reprend le modèle de Solow avec une fonction de production Cobb-Douglas, dans les notations de la note sur la simulation du modèle de Solow : \(s\) est le taux d'épargne, \(n\) le taux de croissance de la population, \(x\) celui de l'efficacité du travail \(A\), \(\delta\) le taux de dépréciation et \(\alpha\) l'élasticité de la production au capital. Au voisinage du sentier de croissance équilibrée, l'écart de la production par tête efficace \(\hat y = y/A\) à sa valeur stationnaire se résorbe au taux \(\beta = (1-\alpha)(n+x+\delta)\), la vitesse de convergence : \(\log\hat y(t) - \log\hat y^{\star} \approx e^{-\beta t}\bigl(\log\hat y(0) - \log\hat y^{\star}\bigr)\). En revenant au revenu par tête \(y\), avec \(A(t) = A(0)e^{xt}\), le taux de croissance annuel moyen entre les dates \(0\) et \(t\) s'écrit

où \(\log\hat y^{\star} = \frac{\alpha}{1-\alpha}\bigl(\log s - \log(n+x+\delta)\bigr)\). L'efficacité initiale du travail n'est pas observée : on écrit, pour le pays \(i\), \(\log A_i(0) = a + \varepsilon_i\), où \(\varepsilon_i\) est une perturbation d'espérance nulle.

Si la vitesse de convergence est la même dans tous les pays, le facteur \((1-e^{-\beta t})/t\) est une constante et l'équation de croissance est linéaire :

avec \(a_1 = -(1-e^{-\beta t})/t\), \(a_2 = -a_1\alpha/(1-\alpha)\), \(a_3 = -a_2\) et \(u_i = -a_1\varepsilon_i\). C'est la régression de convergence conditionnelle de Mankiw, Romer et Weil (1992), que l'on estime par les moindres carrés ordinaires (MCO). On en déduit la vitesse de convergence, \(\hat\beta = -\log(1 + t\hat a_1)/t\). Pour calculer \(\log(n_i + x + \delta)\), les trois auteurs imposent \(x + \delta = 0{,}05\) dans tous les pays, et s'en expliquent ainsi (p. 410) :

We assume that g and δ are constant across countries. g reflects primarily the advancement of knowledge, which is not country-specific. And there is neither any strong reason to expect depreciation rates to vary greatly across countries, nor are there any data that would allow us to estimate country-specific depreciation rates.

Or la vitesse de convergence dépend de \(n_i\), qui varie d'un pays à l'autre, et les Penn World Tables (PWT) fournissent aujourd'hui un taux de dépréciation par pays. Commençons par reproduire l'estimation. Le code suivant lit la feuille de données du classeur Excel de la version 11.0 des PWT, qui couvre 185 pays entre 1950 et 2023.

pwt = pd.read_excel('pwt110.xlsx', 'Data')

Comme dans le cours, nous retenons la période 1960-2023 et les pays pour lesquels le PIB, rgdpo, la population, pop, et la part de l'investissement dans le PIB, csh_i, sont renseignés toutes les années. Pour chaque pays, le revenu par tête est le rapport du PIB à la population, le taux d'épargne est la moyenne de csh_i sur la période, le taux de croissance de la population est son taux annuel moyen entre 1960 et 2023, et le taux de dépréciation est la moyenne de delta, le taux moyen de dépréciation du capital. Le cours mesure la croissance du revenu par tête par son taux annuel moyen, \((y(t)/y(0))^{1/t} - 1\), que nous gardons pour reproduire ses résultats, et nous calculons aussi la log-différence de l'équation de croissance.

DEBUT, FIN = 1960, 2023
t = FIN - DEBUT
donnees = (pwt[(pwt['year'] >= DEBUT) & (pwt['year'] <= FIN)]
           .set_index(['countrycode', 'year'])[['rgdpo', 'pop', 'csh_i', 'delta']]
           .sort_index())
renseigne = donnees.notna().groupby('countrycode').sum() == t + 1

def resume(pays):
    y = (pays['rgdpo']/pays['pop']).to_numpy()
    population = pays['pop'].to_numpy()
    return pd.Series({'y0': y[0],
                      's': pays['csh_i'].mean(),
                      'n': (population[-1]/population[0])**(1/t) - 1,
                      'delta': pays['delta'].mean(),
                      'g_geo': (y[-1]/y[0])**(1/t) - 1,
                      'g': np.log(y[-1]/y[0])/t})

retenus = renseigne[['rgdpo', 'pop', 'csh_i']].all(axis=1)
pays = donnees.loc[retenus[retenus].index].groupby('countrycode').apply(resume)
pays = pays[pays['s'] > 0]
pays['avec_delta'] = renseigne.loc[pays.index, 'delta']
print(len(pays), list(pays.index[~pays['avec_delta']]))

L'échantillon compte 111 pays. La fonction suivante calcule l'estimateur des MCO et sa matrice de variance, avec la normalisation du cours (la somme des carrés des résidus, SCR, est divisée par le nombre d'observations, sans correction des degrés de liberté).

def mco(X, y):
    b = np.linalg.solve(X.T @ X, X.T @ y)
    e = y - X @ b
    V = np.linalg.inv(X.T @ X)*(e @ e)/len(y)
    return b, V, e @ e

def vitesse(a1):
    return -np.log(1 + t*a1)/t

X = np.column_stack([np.ones(len(pays)), np.log(pays['y0']),
                     np.log(pays['s']), np.log(pays['n'] + 0.05)])
b, V, _ = mco(X, pays['g_geo'].to_numpy())
R = np.array([0, 0, 1, 1])
print(b.round(4), (b/np.sqrt(np.diag(V))).round(2))
print(vitesse(b[1]), R @ b/np.sqrt(R @ V @ R))

On retrouve les résultats du cours : \(\hat a_1 = -0{,}0097\), avec une statistique de Student de \(-5{,}86\), soit une vitesse de convergence de 1,5 % par an, et la contrainte \(a_2 + a_3 = 0\) est rejetée (la statistique de Student de \(\hat a_2 + \hat a_3\) vaut \(-3{,}91\)).

Le taux de dépréciation n'est pas renseigné toutes les années pour la Guinée équatoriale : dans la suite, l'échantillon compte 110 pays, et le taux de croissance est mesuré par la log-différence, qui est la grandeur exacte de l'équation de croissance. Avec ces deux changements, la vitesse estimée par les MCO passe de 1,51 % à 1,43 % par an. Nous fixons \(x = 0{,}02\), la valeur retenue par Mankiw, Romer et Weil, et gardons pour chaque pays son taux de croissance démographique et son taux de dépréciation.

echantillon = pays[pays['avec_delta']]
g, s, n, delta = (echantillon[v].to_numpy() for v in ('g', 's', 'n', 'delta'))
ly0 = np.log(echantillon['y0'].to_numpy())
N, x = len(g), 0.02
c = n + x + delta
codes = echantillon.index
print(N, np.median(delta), delta.min(), codes[delta.argmin()], delta.max(), codes[delta.argmax()])
print(n.min(), n.max(), np.std(n), np.std(delta), np.corrcoef(n, delta)[0, 1])
print(np.corrcoef(g, n)[0, 1], np.corrcoef(g, delta)[0, 1], np.corrcoef(g, np.log(c))[0, 1])

Le taux de dépréciation médian est de 4,1 %, et va de 1,6 % en Haïti à 8,9 % aux Fidji. Il varie davantage que le taux de croissance de la population (écart-type de 1,2 point contre 0,9), et les deux ne sont guère corrélés. Dans ces données, les différences de vitesse de convergence entre pays viennent donc surtout de la dépréciation, que Mankiw, Romer et Weil supposaient commune.

Si l'on prend le modèle au sérieux, la vitesse de convergence du pays \(i\) est \(\beta_i = (1-\alpha)(n_i+x+\delta_i)\), et l'équation de croissance devient

avec \(u_i = \varepsilon_i(1-e^{-\beta_i t})/t\). Le facteur qui multiplie la parenthèse change d'un pays à l'autre et dépend de \(\alpha\) : l'équation n'est plus linéaire dans les paramètres, et les MCO ne s'appliquent plus. Il n'y a pourtant que deux paramètres à estimer, \(\alpha\) et \(a\), puisque la vitesse de chaque pays se déduit de \(\alpha\) et de ses propres \(n_i\) et \(\delta_i\). Nous n'avons pas besoin d'estimer 110 vitesses de convergence.

logs = {}
for nom, z in (('M0', np.log(n + 0.05)), ("M0'", np.log(c))):
    X = np.column_stack([np.ones(N), ly0, np.log(s), z])
    b, V, scr = mco(X, g)
    logs[nom] = -N/2*np.log(scr/N)
    print(nom, b.round(4), (b/np.sqrt(np.diag(V))).round(2), vitesse(b[1]),
          b[2]/(b[2] - b[1]), R @ b/np.sqrt(R @ V @ R), scr, logs[nom])

DEPARTS = {'M1': [[th, 8, 2, -2] for th in (0.05, 0.1, 0.3)],
           'M2': [[th, 7, al] for th in (0.05, 0.1, 0.3) for al in (0.4, 0.7)],
           'M3': [[7, al] for al in (0.3, 0.5, 0.7)]}
estimations = {}
for nom in ('M1', 'M2', 'M3'):
    depart, essais = mcnl(nom, g, ly0, DEPARTS[nom])
    ajustement = maxv(nom, g, ly0, depart.x)
    estimations[nom], logs[nom] = ajustement.x, -ajustement.fun
    classiques, robustes = ecarts_types(ajustement.x, nom, g, ly0)
    print(nom, depart.x.round(4), ajustement.x.round(4), classiques.round(4),
          robustes.round(4), logs[nom], sorted({round(2*e.cost, 6) for e in essais}))

Les MCNL, qui servent de point de départ, aboutissent au même minimum quel que soit le point de départ, et la maximisation de la vraisemblance part ensuite de leur solution. Le tableau suivant résume les estimations, avec les écarts-types tirés de la hessienne entre parenthèses ; les écarts-types robustes en diffèrent peu (0,042 au lieu de 0,049 pour le \(\alpha\) de M2), ce qui indique que la forme de variance donnée par le modèle n'est pas démentie par les données. Pour M0 et M0', la vitesse est commune à tous les pays, et \(\alpha\) est déduit des coefficients, \(\alpha = a_2/(a_2 - a_1)\) (voir l'exercice 1) ; pour M1, M2 et M3, la vitesse indiquée est la médiane des \(\beta_i\).

def test_LR(contraint, libre):
    LR = 2*(logs[libre] - logs[contraint])
    return LR, 1 - stats.chi2.cdf(LR, 1)

print(test_LR('M2', 'M1'), test_LR('M3', 'M2'))
theta = {'M1': estimations['M1'][0], 'M2': estimations['M2'][0],
         'M3': 1 - estimations['M3'][1]}
for nom, th in theta.items():
    beta = th*c
    print(nom, np.median(beta), beta.min(), codes[beta.argmin()],
          beta.max(), codes[beta.argmax()], np.log(2)/np.median(beta))

Trois résultats se dégagent.

Remplacer le 0,05 commun par les taux propres à chaque pays dégrade l'ajustement. La log-vraisemblance passe de 480,2 (M0) à 466,5 (M0'), et le coefficient de \(\log(n_i + x + \delta_i)\) n'est plus significatif (sa statistique de Student vaut \(-0{,}76\)). La contrainte \(a_2 + a_3 = 0\) n'est plus rejetée (\(1{,}06\)), mais c'est surtout parce que ce régresseur n'explique plus grand-chose. Dans M0, \(\log(n_i + 0{,}05)\) ne varie qu'avec la croissance démographique, qui est négativement corrélée à la croissance du revenu par tête (le coefficient de corrélation vaut \(-0{,}38\)). Dans M0', ses variations viennent surtout de la dépréciation, qui est au contraire positivement corrélée à la croissance (\(0{,}22\)), si bien que \(\log(n_i + x + \delta_i)\) ne l'est presque plus (\(-0{,}06\)). Le modèle prédit pourtant qu'une dépréciation plus rapide abaisse le revenu de long terme, et donc la croissance. Le taux de dépréciation des PWT est une moyenne des taux propres à chaque type d'actif, pondérée par la composition du capital : il reflète la structure de l'investissement autant que l'usure du capital.

Des vitesses propres à chaque pays n'ajustent guère mieux qu'une vitesse commune. À régresseurs identiques, M1 et M0' ont le même nombre de paramètres et des log-vraisemblances voisines (467,75 contre 466,46). Les données distinguent mal les deux structures. L'intérêt des vitesses propres tient à la cohérence avec le modèle, et au test qu'elles permettent : dans M2, le paramètre \(\theta\) qui règle la vitesse est estimé indépendamment de \(\alpha\), et le modèle de Solow impose \(\theta = 1 - \alpha\). La contrainte de M2 sur les coefficients de la parenthèse n'est pas rejetée (rapport de vraisemblance de 0,71, probabilité critique de 0,40).

Le modèle de Solow complet est rejeté. La contrainte \(\theta = 1-\alpha\) fait perdre 7,1 points de log-vraisemblance, soit un rapport de vraisemblance de \(14{,}2\) et une probabilité critique de 0,00016. Sans la contrainte, la vitesse médiane est de 0,84 % par an, soit une demi-vie de 82 ans, et \(\alpha\) est estimé à 0,71. Avec la contrainte, la vitesse médiane est de 2,9 % par an (demi-vie de 24 ans), et va de 1,7 % en Grèce à 4,3 % aux Fidji. La figure suivante représente la log-vraisemblance de M2 en fonction de \(\alpha\) et \(\theta\) (la constante \(a\) est optimisée pour chaque couple). Le maximum est loin de la droite \(\theta = 1-\alpha\) : la valeur de \(\alpha\) qui rend compte des écarts de revenu entre pays implique une convergence bien trop rapide.

C'est, dans un autre cadre, le constat qui conduit Mankiw, Romer et Weil au modèle augmenté du capital humain : la vitesse de convergence y devient \(\beta_i = (1-\alpha-\lambda)(n_i+x+\delta_i)\), où \(\lambda\) est l'élasticité de la production au capital humain, et une part plus grande du capital au sens large ralentit la convergence.

Toutes ces estimations supposent que la perturbation \(\varepsilon_i\) n'est corrélée ni avec les taux d'épargne et de croissance démographique, ni avec le revenu initial. Le cours pose explicitement la seconde hypothèse, \(\mathrm{Cov}(\varepsilon_i, \log y_j(0)) = 0\). Elle est pourtant difficile à défendre : puisque \(\log y_i(0) = a + \varepsilon_i + \log\hat y_i(0)\), un pays dont l'efficacité du travail est élevée a, toutes choses égales par ailleurs, un revenu initial élevé. Dans l'équation de croissance, le revenu initial est alors corrélé avec le terme d'erreur, qui contient \(\varepsilon_i\), et les estimateurs ne convergent plus vers les vraies valeurs des paramètres.

Pour mesurer l'effet de cette corrélation, simulons des données à partir du modèle M3, en retenant les valeurs estimées de \(\alpha\) et \(a\), les taux d'épargne, de croissance démographique et de dépréciation observés, et un écart-type de \(\varepsilon_i\) déduit des résidus. Les revenus de 2023 sont calculés avec la solution exacte de l'équation de Solow, et non avec son approximation log-linéaire : en notant \(z = \hat k^{1-\alpha}\), \(z(t) = z^{\star} + (z(0) - z^{\star})e^{-\beta_i t}\), où \(z^{\star} = s_i/(n_i+x+\delta_i)\) (voir la note sur la simulation du modèle de Solow). Nous considérons deux cas :

• dans le premier, le revenu initial est celui observé, et c'est la production initiale par tête efficace, \(\log\hat y_i(0)\), qui s'ajuste à \(\varepsilon_i\) : l'hypothèse du cours est vérifiée ;
• dans le second, \(\log\hat y_i(0)\) est fixé, et le revenu initial contient \(\varepsilon_i\).

Dans chaque cas, nous simulons 500 échantillons, estimons M2 et M3 par le maximum de vraisemblance, et testons \(\theta = 1-\alpha\) au seuil de 5 %.

a3, alpha3 = estimations['M3']
beta3 = (1 - alpha3)*c
epsilon = (g - croissance(estimations['M3'], 'M3', ly0))/poids(estimations['M3'], 'M3')
sigma = epsilon.std()
rng = np.random.default_rng(2014)

def simulation(endogene):
    """Taux de croissance simulés avec la solution exacte, et revenus initiaux."""
    e = rng.normal(0, sigma, N)
    if endogene:
        lyh0 = ly0 - a3
        ly0_sim = lyh0 + a3 + e
    else:
        ly0_sim = ly0
        lyh0 = ly0 - a3 - e
    z0 = np.exp(lyh0*(1 - alpha3)/alpha3)
    z = s/c + (z0 - s/c)*np.exp(-beta3*t)
    lyt = a3 + e + x*t + alpha3/(1 - alpha3)*np.log(z)
    return (lyt - ly0_sim)/t, ly0_sim

simulations = {}
for endogene in (False, True):
    theta2, alpha3_sim, rejets = [], [], 0
    for r in range(500):
        g_sim, ly0_sim = simulation(endogene)
        m2 = maxv('M2', g_sim, ly0_sim, [0.1, 7, 0.6])
        m3 = maxv('M3', g_sim, ly0_sim, [7, 0.6])
        LR = 2*(m3.fun - m2.fun)
        rejets += LR > stats.chi2.ppf(0.95, 1)
        theta2.append(m2.x[0])
        alpha3_sim.append(m3.x[1])
    simulations[endogene] = np.array(theta2)
    print(endogene, np.mean(alpha3_sim), np.median(theta2), rejets/500)
print(sigma, 1 - alpha3, simulations[False].min(), np.percentile(simulations[False], 5),
      simulations[True].max(), np.percentile(simulations[True], 95))

Dans le premier cas, l'estimateur de \(\alpha\) dans M3 est presque sans biais (0,655 en moyenne pour une vraie valeur de 0,653) : l'approximation log-linéaire n'est pas en cause. Le test rejette la contrainte \(\theta = 1-\alpha\) dans 8 % des échantillons, un peu plus que les 5 % annoncés : avec 110 pays, l'approximation de la loi du rapport de vraisemblance par un \(\chi^2\) reste grossière. Dans le second cas, l'estimation de \(\alpha\) monte à 0,74, la médiane de \(\hat\theta\) tombe à 0,06 alors que la vraie valeur est de 0,35, et le test rejette la contrainte dans tous les échantillons. La figure suivante compare les deux distributions de \(\hat\theta\) à l'estimation obtenue sur les données.

L'estimation obtenue sur les données, 0,102, est inférieure à toutes les estimations du premier cas, dont la plus petite vaut 0,17, et supérieure à toutes celles du second, dont la plus grande vaut 0,09. Elle pourrait provenir d'un modèle de Solow dans lequel le revenu initial ne contient qu'une partie de \(\varepsilon_i\) : le rejet du modèle complet viendrait alors de cette corrélation, et non d'un défaut du modèle. Elle pourrait aussi provenir d'un modèle où la vitesse de convergence n'est pas celle du modèle de Solow : en coupe transversale, on ne peut pas trancher. On ne peut pas non plus instrumenter le revenu initial par des revenus plus anciens, qui contiennent la même composante permanente \(\varepsilon_i\). La seconde source d'endogénéité, la corrélation de \(\varepsilon_i\) avec les taux d'épargne et de croissance démographique, que Mankiw, Romer et Weil excluent par hypothèse, pose le même problème.

La réponse habituelle consiste à suivre les pays sur plusieurs périodes. En découpant 1960-2023 en périodes de longueur \(\tau\), l'équation de croissance s'écrit

avec \(\rho_i = e^{-\beta_i\tau}\), un effet pays \(\mu_i = (1-\rho_i)\log A_i(0)\), qui absorbe \(\varepsilon_i\), et un terme de tendance \(\gamma_{i,k}\) connu à \(\alpha\) près. Cet effet fixe peut être éliminé en différenciant l'équation, et les revenus des périodes antérieures deviennent alors des instruments valides. La littérature montre toutefois que le résultat dépend beaucoup de la méthode. Avec des effets fixes, Islam (1995) trouve des vitesses de 4 à 5 % par an sur les grands échantillons, et de plus de 9 % pour les pays de l'OCDE. Avec la méthode des moments généralisés (GMM) appliquée à l'équation en différences, Caselli, Esquivel et Lefort (1996) trouvent environ 10 %. Bond, Hoeffler et Temple (2001) montrent que les instruments sont alors faibles, et trouvent 2 à 4 % avec la méthode dite des GMM en système. Les simulations de Hauk et Wacziarg (2009) indiquent que les effets fixes et les GMM en différences surestiment fortement la vitesse de convergence, et que l'estimateur en coupe transversale, celui de cette note, est le moins biaisé en présence d'erreurs de mesure. Enfin, lorsque chaque pays a sa propre vitesse, sans lien avec le modèle, Lee, Pesaran et Smith (1997) trouvent des vitesses moyennes de l'ordre de 30 % par an, très imprécises. La structure \(\beta_i = (1-\alpha)(n_i+x+\delta_i)\) se situe entre ces deux extrêmes : elle autorise des vitesses différentes, mais les relie à un seul paramètre. Son estimation en panel fait l'objet de la note suivante.

Prendre au sérieux la vitesse de convergence du modèle de Solow ne demande qu'un changement d'estimateur : une part du capital commune suffit à donner à chaque pays sa propre vitesse, et le modèle dit aussi comment pondérer les pays, ce dont le maximum de vraisemblance tire parti. Sur les données des PWT, ces vitesses propres n'ajustent guère mieux qu'une vitesse commune, et le modèle de Solow complet est rejeté, parce que la part du capital qui rend compte des écarts de revenu implique une convergence trop rapide. Ce verdict est cependant fragile : la même estimation, appliquée à des données simulées par un modèle de Solow exact, conduit au même rejet dès que le revenu initial contient l'efficacité du travail. Seule une estimation en panel permet de séparer les deux explications.

La régression de convergence conditionnelle est due à Mankiw, N. G., Romer, D. et Weil, D. (1992), « A Contribution to the Empirics of Economic Growth », Quarterly Journal of Economics, 107(2), 407-437. Les estimations en panel citées sont celles de Islam, N. (1995), « Growth Empirics: A Panel Data Approach », Quarterly Journal of Economics, 110(4), 1127-1170, de Caselli, F., Esquivel, G. et Lefort, F. (1996), « Reopening the Convergence Debate: A New Look at Cross-Country Growth Empirics », Journal of Economic Growth, 1(3), 363-389, de Bond, S., Hoeffler, A. et Temple, J. (2001), « GMM Estimation of Empirical Growth Models », CEPR Discussion Paper 3048, et de Lee, K., Pesaran, M. H. et Smith, R. (1997), « Growth and Convergence in a Multi-Country Empirical Stochastic Solow Model », Journal of Applied Econometrics, 12(4), 357-392. Les simulations sont celles de Hauk, W. et Wacziarg, R. (2009), « A Monte Carlo Study of Growth Regressions », Journal of Economic Growth, 14(2), 103-147. Pour une vue d'ensemble, voir Durlauf, S., Johnson, P. et Temple, J. (2005), « Growth Econometrics », dans Aghion, P. et Durlauf, S. (dir.), Handbook of Economic Growth, vol. 1A, chapitre 8, 555-677.

Les données proviennent de la version 11.0 des Penn World Tables (Groningen Growth and Development Centre, 2025, doi:10.34894/FABVLR), décrites dans Feenstra, R., Inklaar, R. et Timmer, M. (2015), « The Next Generation of the Penn World Table », American Economic Review, 105(10), 3150-3182. Sur le modèle de Solow lui-même, on se reportera aux notes sur le modèle de Solow et sur sa simulation.